$u(x)=1-\frac{2x^3}{7}=1-\frac{2}{7}x^3$ et $u'(x)=-\frac{2}{7}\times 3x^2=-\frac{6}{7}x^2$. $v(x)=\frac{\ln{x}}{2}=\frac{1}{2}\ln{x}$ et $v'(x)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{x}=\frac{1}{2x}$. Donc $h$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et: h'(x) & =-\frac{6}{7}x^2\times \frac{1}{2}\ln{x}+\left(1-\frac{2}{7}x^3\right)\times \frac{1}{2x} Niveau moyen/difficile $f(x)=x^2+x(3x-2x^2)$ sur $\mathbb{R}$. $g(x)=\frac{1}{4}\times (1-x)\times \sqrt{x}$ sur $]0;+\infty[$. $h(x)=\frac{x}{2}-(2x+1)\ln{x}$ sur $]0;+\infty[$. On remarque que $f$ est la somme de deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$: $x\mapsto x^2$ et $x\mapsto x(3x-2x^2)$. Cette dernière peut s'écrire comme le produit de deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$. $v(x)=3x-2x^2$ et $v'(x)=3-4x$. Somme d'un produit. f'(x) & =2x+1\times (3x-2x^2)+x\times (3-4x) \\ & = 2x+3x-2x^2+3x-4x^2 \\ & = -6x^2+8x Pour la fonction $g$, il faut essayer de voir le produit de deux fonctions et non trois (cela compliquerait beaucoup les choses! ). On remarque donc que $g=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $]0;+\infty[$.
Manipulation des symboles sommes et produits Enoncé Pour chaque question, une seule réponse est juste. Laquelle? La somme $\sum_{k=0}^n 2$ $$\mathbf a. \textrm{ n'a pas de sens}\ \ \mathbf b. \textrm{ vaut}2(n+1)\ \ \mathbf c. \ \textrm{vaut}2n. $$ La somme $\sum_{p=0}^{2n+1}(-1)^p$ est égale à $$\mathbf a. \ 1\ \ \mathbf b. \ -1\ \ \mathbf c. \ 0. $$ Le produit $\prod_{i=1}^n (5a_i)$ est égal à $$\mathbf a. \ 5\prod_{i=1}^n a_i\ \ \mathbf b. \ 5^n\prod_{i=1}^n a_i\ \ \mathbf c. \ 5^{n-1}\prod_{i=1}^n a_i. $$ Enoncé Écrire à l'aide du symbole somme les sommes suivantes: $2^3+2^4+\cdots+2^{12}$. $\frac 12+\frac24+\frac{3}8+\cdots+\frac{10}{1024}$. $2-4+6-8+\cdots+50$. Somme d un produit simplifie. $1-\frac 12+\frac13-\frac 14+\cdots+\frac1{2n-1}-\frac{1}{2n}$. Enoncé Écrire à l'aide du symbole $\sum$ les sommes suivantes: $n+(n+1)+\dots+2n$; $\frac{x_1}{x_n}+\frac{x_2}{x_{n-1}}+\cdots+\frac{x_{n-1}}{x_2}+\frac{x_n}{x_1}$. Enoncé Pour $n\geq 1$, on pose $u_n=\sum_{k=n}^{2n}\frac 1k$. Simplifier $u_{n+1}-u_n$ puis étudier la monotonie de $(u_n)$.
On aurait envie que $(u\times v)'$ soit égal à $u'\times v'$! Malheureusement, il est très faux d'écrire cela et c'est une erreur commise par de nombreux élèves. La clé: bien identifier que l'on est en présence d'un produit. Le produit d'une fonction par un réel peut être vu comme le produit de deux fonctions (dont l'une est constante). On peut donc utiliser cette formule pour dériver $2\times f$ mais cela revient à utiliser un outil élaboré pour réaliser une opération très simple. En effet, $(2\times f)'=0\times f+2\times f'=2\times f'$ (et nous le savions déjà). Conclusion: on utilise la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions lorsqu'aucune des deux n'est constante. Un exemple en vidéo D'autres exemples pour s'entraîner Niveau facile Dériver la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ puis factoriser l'expression obtenue par $e^x$. Somme d un produit en marketing. $f(x)=x\times e^x$ Voir la solution On remarque que $f=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$. $u(x)=x$ et $u'(x)=1$. $v(x)=e^x$ et $v'(x)=e^x$.
Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et: $\begin{align} f'(x) & =1\times e^x+x\times e^x \\ & = e^x(1+x) \end{align}$ Niveau moyen Dériver les fonctions $f$, $g$ et $h$ sur les intervalles indiqués. $f(x)=(3x^2+2x-5)\times(1-2x)$ sur $\mathbb{R}$. Développer puis réduire l'expression obtenue. $g(x)=\frac{x^2}{4}\times (\sqrt{x}+1)$ sur $]0;+\infty[$. On ne demande pas de réduire l'expression obtenue. Exercices corrigés -Calculs algébriques - sommes et produits - formule du binôme. $h(x)=(1-\frac{2x^3}{7})\times \frac{\ln{x}}{2}$ sur $]0;+\infty[$. Voir la solution On remarque que $f=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$. $u(x)=3x^2+2x-5$ et $u'(x)=6x+2$. $v(x)=1-2x$ et $v'(x)=-2$. f'(x) & =(6x+2)\times (1-2x)+(3x^2+2x-5)\times (-2) \\ & = 6x-12x^2+2-4x-6x^2-4x+10 \\ & = -18x^2-2x+12 \end{align}$ On remarque que $g=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $]0;+\infty[$. $u(x)=\frac{x^2}{4}=\frac{1}{4}x^2$ et $u'(x)=\frac{1}{4}\times 2x=\frac{1}{2}x$. $v(x)=\sqrt{x}+1$ et $v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Donc $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et: g'(x) & =\frac{1}{2}x\times (\sqrt{x}+1)+\frac{1}{4}x^2\times \frac{1}{2\sqrt{x}} On remarque que $h=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $]0;+\infty[$.
Produit de deux fonctions Multiplication de deux fonctions de limite finie Si f(x) et g(x) sont deux fonctions de limites respectives l et l' alors leur produit, c'est à dire la suite f(x). g(x) possède aussi une limite finie: Lim f(x). g(x) = l. Calculateur des sommes et des produits-Codabrainy. l' Multiplication d'une fonction de limite finie par une fonction de limite infinie Si f(x) est une fonction de limite finie "l" et g(x) une fonction de limite infini alors leur produit tend vers l'infini sauf si la limite "l" est nulle: Multiplication de deux fonctions de limites infinies Si f(x) et g(x) sont deux fonctions de limites infinies identiques ( ou) alors leur produit tend vers: Cependant si f(x) et g(x) sont deux fonctions de limites infinies différentes (l'une tend vers et l'autre vers) alors on obtient à nouveau une forme indéterminée. Quotient de deux fonctions Division de fonctions de limites finies Si f(x) et g(x) sont deux fonctions de limites respectives l et l' alors non nulles alors leur quotient, c'est à dire f(x)/g(x) possède aussi une limite réelle finie (à condition que l' ne soit pas nulle) et: Lim f(x)/g(x) = l / l' Si la limite l' est nulle et l non nulle alors le quotient tend vers l'infini avec un signe qui dépend du signe de "l" et de la suite vn: si l' = 0 et non l nul lim f(x)/g(x) = ou Si l et l' sont nulles alors on obtient une forme indéterminée.
Somme, produit ou quotient SCORE: L'expression suivante est une somme un produit un quotient