Équation Des Ondes Exercices Corrigés

:. Trouvons maintenant les fonctions. La condition donne. Par conséquent, D'où, par le principe de superposition, on obtient \begin{align*} u(x, y)&=\sum_{\color{red}{n\geq0}} u_n (x, y) \\ &=\sum_{n\geq0} X_n (x) Y_n ( y) \\ &=a_0(y+\pi)+\sum_{n\geq1} \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]\sinh[n(y+\pi)]. Équation des ondes exercices corrigés des épreuves. \end{align*} Déterminons maintenant les coefficients pour que la condition au bord non-homogène soit satisfaite. On remarque que la donnée peut s'écrire comme combinaison des fonctions propres. En effet, on a: \begin{align*} u(x, 0)&=1+\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\\ &=1+\cos(x)-\sin(x)\\ &=2a_0\pi+\left[ a_1\cos(x)+b_1\sin(x)\right]\sinh(2\pi)+\sum_{n\geq2}\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]\sinh(2n\pi). \end{align*} Dans ce cas là, on a pas donc à calculer les coefficients de Fourier; une simple identification suffira. On trouve: La solution est donc: ou bien La méthode de séparation des variables: les grandes lignes Résumons la méthode de séparation des variables telle qu'elle apparaît pour l'exemple ci-dessous: Assurez-vous d'avoir une EDP linéaire et homogène avec des conditions aux frontières homogènes.