Donc z 1 = 0, ce qui est bien le résultat attendu. Question 4 Montrons le résultat par récurrence avec la propriété suivante: P(n): \forall m \geq n, z_n = 0. La question 3 fait office d'initialisation. Passons donc directement à l'hérédité. Exercices sur les séries de fonctions - LesMath: Cours et Exerices. Supposons que pour un rang n fixé, \forall m \geq n, z_n = 0 On a donc: \begin{array}{ll} g(t+n) &= \displaystyle \sum_{k\geq n+1}\dfrac{z_k}{k-(t+n)}\\ &= \displaystyle \sum_{k\geq 1}\dfrac{z_{k+n}}{k-t}\\ &= \displaystyle \sum_{k\geq 1}\sum_{m\geq 0} \frac{z_{k+n}t^m}{k^{m+1}} \end{array} Et on peut donc appliquer le même raisonnement qu'à la question 3. Cela conclut donc notre récurrence et cet exercice! Ces exercices vous ont plu? Tagged: Exercices corrigés mathématiques maths prépas prépas scientifiques récurrence Séries séries entières Navigation de l'article
Comme les élémemts de $A$ sont positives alors $sup(A)ge 0$. Montrons que $sup(sqrt{A})$ est non vide. En effet, le fait que $Aneq emptyset$ implique que $A$ contient au moins un element $x_0in A$ avec $x_0ge 0$. Donc $sqrt{x_0}in sup(sqrt{A})$. Ainsi $sup(sqrt{A})neq emptyset$. Montrons que $sqrt{A}$ est majorée. En effet, soit $yin sqrt{A}$. Il existe donc $xin A$ ($xge 0$) tel que $y=sqrt{x}$. Comme $xin A, $ alors $xle sup(A)$. Comme la fonction racine carrée est croissante alors $y=sqrt{x}le sqrt{sup(A)}$. Donc $sqrt{A}$ est majorée par $sqrt{sup(A)}$. $sqrt{A}$ non vide majorée, donc $d=sup(sqrt{A})$ existe. Comme $d$ est le plus petit des majorants de $sqrt{A}$ et que $sqrt{sup(A)}$ est un majortant de cette ensemble, alors $dle sqrt{sup(A)}$. D'autre part, pour tout $xin A$ on a $sqrt{x}le d, $ donc $x le d^2$. Exercice corrigé : La suite harmonique - Progresser-en-maths. Ce qui implique $d^2$ est un majorant de $A$. Comme $sup(A)$ est le plus petit des majorants de $A$ alors $sup(A)le d^2$. En passe à la racine carrée, on trouve $sqrt{sup(A)}le d$.
Publicité Des exercices corrigés sur les séries entières sont proposés. En effet, nous mettons l'accent sur le calcul du rayon de convergence d'une série entière. En revanche, nous donnons des exercices corrigés sur les fonctions développables en séries entières. Calcul de rayon de convergence des séries entières Ici on propose plusieurs technique pour calculer le rayon de convergence d'une séries entière. Exercice: Soit $sum, a_n z^n$ une série entière dont le rayon de convergence $R$ est nul. Montrer que la série entièrebegin{align*}sum_{n=0}^{infty} frac{a_n}{n! }z^nend{align*}a un rayon de convergence infini. Solution: Tout d'abord, il faut savoir que même si $R$ est le rayon de convergence de $sum, a_n z^n$, il se peut que la suite $frac{a_{n+1}}{a_n}$ n'a pas de limite. Donc on peut pas utiliser le régle de d'Alembert ici. On procéde autrement. Il existe $z_0in mathbb{C}$ avec $z_0neq 0$ tel que la série $sum, a_n z^n_0$ soit convergente. En particulier, il existe $M>0$ tel que $|a_n z_0|le M$ pour tout $n$.
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